Измерение углов отсечки с помощью осциллографов Rigol серии DS70000 при выраженных шумах и нелинейности. Часть 1
Николай Лемешко, д.т.н., гл. науч. сотр., АО «Корпорация «Комета»
Андрей Савкин, инженер по применению
Статья размещена в журнале «Электронные Компоненты» №6-2026.
В статье рассматриваются подходы к измерению углов отсечки (УО) при наличии аддитивного шума (АШ) и нелинейности. Проанализированы достоинства и недостатки подхода к измерению УО, основанного на использовании функций Берга. Впервые введена классификация, и выполнено обобщение методов измерения УО во временной и частотной областях при наличии и в отсутствие нелинейности. Предложены новые, непосредственно применимые для решения практических задач подходы к измерению УО, – методы опорных функций, возведения в степень, интегрирования сигналов. С помощью приборов Rigol реализованы измерения УО, показавшие действенность и практическую применимость некоторых из предложенных методов.
Введение
Формирование, передача и обработка информации являются тремя основными функциями современных телекоммуникационных систем. Для их качественной реализации применяются устройства, содержащие так называемые линейные тракты, в которых осуществляются типовые преобразования сигналов – усиление, фильтрация, перенос по частоте, которые реализуются в соответствующих устройствах радиосредств.
Такие узлы, как усилители, далеко не всегда работают в линейном режиме, поскольку он соответствует сравнительно небольшому коэффициенту полезного действия. Чаще всего при номинальной входной мощности выходные каскады работают с переходом в насыщение, что приводит к формированию ряда подлежащих фильтрации спектральных составляющих [1]. С другой стороны, смесители, предназначенные для переноса спектра сигналов на частоту выше или ниже текущей, также работают в нелинейном режиме, который и позволяет реализовать перенос по частоте, например при квадратичной или кубической передаточной характеристике смесителя [2]. Объединяющей чертой названных узлов является то, что настройка рабочих точек их активных элементов определяется установкой заданных углов отсечки. При этом схемное моделирование с подтверждением их значений не гарантирует получения требуемых УО в реальных устройствах по причине разброса характеристик электронной компонентной базы. Таким образом, УО часто измеряются в рамках настройки соответствующих узлов электронной техники.
Практика показала, что при осуществлении измерений УО часто возникают две проблемы. Смесители работают с сигналами очень низкого уровня, и измерения могут проводиться в условиях заметных шумов, а также нелинейности, которая затрудняет непосредственный отсчет УО. Для усилителей эти проблемы тоже актуальны, но вторая из них является определяющей. В таких условиях использование прямых измерений УО, а также подход, основанный на функциях Берга [2], имеют существенные ограничения, поскольку упомянутые факторы «размывают» точки отсчета УО, не позволяя определить их однозначное положение на осциллограммах путем прямых отсчетов.
Целью настоящей работы является выработка прогрессивных методов измерения УО с учетом перечисленных сложностей и с ориентацией на использование современных средств измерений.
Классический подход к определению углов отсечки и соответствующих им спектральных составляющих
Понятие угла отсечки применимо к случаю прохождения через некоторый каскад синусоидального тока заданной частоты. Согласно определению [3], угол отсечки θ – это выраженная в угловых единицах половина части периода гармонического сигнала, в течение которой через некоторый активный элемент (АЭ) проходит переменный ток. В зависимости от значения θ, в частности, усилители мощности распределяются по тем или иным классам. Так, например, если усилитель работает без отсечки, то θ = 180°, и он относится к классу А, который характеризуется наименьшим коэффициентом полезного действия (КПД) – до 30%, но и наименьшими нелинейными искажениями. КПД усилителей класса B достигает 78%, но при этом коэффициент гармоник составляет порядка 43%, и потому каскады усиления класса B объединяют в пары, работающие при разной полярности входного напряжения.
Введенное определение УО имеет графическую трактовку, показанную на рис. 1, где U0 – напряжение отсечки, определяющее пороговый уровень протекания тока через АЭ,
Um > |U0| – амплитудное значение гармонического сигнала с нулевой постоянной составляющей, ω1 – циклическая частота синусоидального сигнала, t – время.
Рис. 1. Отсечка синусоидального напряжения
Как следует из самой структуры такого сигнала, для определения значения θ при условии выраженного перехода синусоиды в постоянный уровень U0 достаточно соотнести длительность образованных ею импульсов τ и период их повторения T: θ = πτ/T. Для этого, очевидно, следует применять классическую осциллографию.
Представленная на рис. 1 зависимость обычно анализируется с использованием смещенного представления сигнала, задаваемого в окрестности нулевого времени следующим образом (1):
Используя разложение сигнала (1) в ряд Фурье, можно показать [2], что с учетом его четности постоянная составляющая для такого сигнала равна (2):
а первый и n-й коэффициент разложения, соответствующие амплитуде гармоники на частоте nω1, составят (3):
Нормировка выражений (2) и (3) делением на Um позволяет перейти к выражениям для относительных постоянной составляющей и амплитуд гармоник, которые зависят только от угла θ и называются функциями Берга.
Непосредственный отсчет не занятой отсечкой доли периода по осциллограмме возможен только в отсутствие шума заметного уровня как в отсутствие, так и при наличии нелинейности, свойственной усилительным и смесителям каскадам в режиме близкого к нулю входного сигнала. Это показано на рис. 2, где в пределах одного периода для Um = 1 В, U0 = 0,5 В, ω1 = 2π∙103 рад/с, θ = π/3 рад показаны четыре возможных случая оценки УО.
Рис. 2. Синусоидальная функция с отсечкой: а) в отсутствие шумов и нелинейности; б) при наличии аддитивного гауссова шума; г) при наличии гауссова шума и нелинейности
Первый из них соответствует отсутствию аддитивного шума и нелинейности, когда возможны прямые измерения по осциллограммам.
Во втором случае имеется АШ с гауссовым распределением, математическим ожиданием M = 0 и среднеквадратичным отклонением σ = 0,05 В. На рис. 2в показан пример влияния нелинейности, где синусоидальная функция с отсечкой интерполирована гауссовым импульсом вида sg(t) = Uexp(–t2/(αT)2), где α = 0,15, U = 0,5 В. Это соответствует углу отсечки 126°. В этом случае УО измеряется аналогично показанному на рис. 1, причем точкой отсчета выбирается момент отклонения графика от нулевого значения, определение которого, однако, может оказаться весьма затруднительным. На рис. 2г показан этот же сигнал при наличии аддитивного шума.
Как следует из рисунков 2б и 2г, курсорные и иные измерения, проводимые по осциллограммам, не дадут результата с должной точностью из-за неоднозначности положения точек перехода к отсечке, и следует использовать иные подходы.
Способы определения УО при наличии аддитивного шума
На рис. 3 представлена классификация способов определения углов отсечки при наличии АШ.
Рис. 3. Классификация способов экспериментального определения углов отсечки
Усреднение, реализуемое современными цифровыми осциллографами по заданному количеству осциллограмм, позволяет уменьшить уровень отображаемого шума за счет его статистической компенсации, если только шумовая составляющая не приводит к периодическому срыву синхронизации развертки. Этот способ вполне применим, если речь идет о шуме с нормальным или, по крайней мере, симметричным распределением и нулевым математическим ожиданием [4]. Для измерений во временной области результат усреднения зависит от количества реализаций развертки K. На рис. 4 показан результат усреднения, полученный для сигнала на рис. 2б при K = 10, 50, 100.
Рис. 4. Снижение уровня некоррелированного АШ усреднением при: а) К = 10; б) К = 50; в) К = 100
Как видно из представленных результатов, уже при K ~ 50 уровень некоррелированного АШ снижается в той степени, которая позволяет выполнить измерение θ классическим способом. При этом для нормально распределенного шума после такого усреднения среднеквадратичное отклонение для каждой точки осциллограммы составит σ/√K.
Наиболее часто АШ является широкополосным, например, если он имеет тепловую природу. В частности, график на рис. 2б построен при синтезированном АШ с полосой 500 кГц, тогда как частота синусоидального сигнала составляет f1 = ω1/2π = 1 кГц. Использование фильтрации позволяет уменьшить энергию АШ обратно пропорционально полосе пропускания фильтра и, соответственно, снизить σ на 20lg(Пш/Пф) дБ, где: Пш и Пф – полосы АШ и фильтра. Как следует из рис. 3, фильтрация применительно к рассматриваемой задаче может выполняться в следующих вариантах и их комбинациях.
Ограничение полосы пропускания является базовой функцией современных осциллографов. Для распространенных приборов начального уровня с полосой 100 МГц частота среза обычно соответствует 20 МГц, что позволяет снизить мощность широкополосного шума в пять раз. Осциллографы среднего и высшего класса имеют настраиваемую частоту среза, что позволяет адаптировать ограничение полосы пропускания под конкретный измеряемый сигнал. Поскольку ключевым фактором использования данного способа, как и почти всех рассматриваемых ниже, является получение достоверных результатов измерений, во избежание влияния фильтрации на измеряемый сигнал (ИС) необходимо иметь о нем априорную информацию в достаточном объеме. В данном случае требуется знать полосу частот, занимаемую ИС.
Цифровая фильтрация ИС может выполняться в двух вариантах. Некоторые модели цифровых осциллографов имеют настраиваемые пользователем цифровые фильтры четырех наиболее распространенных типов – полосовые, режекторные, нижних и верхних частот. Как правило, они имеют порядок не выше двух для ограничения вычислительных затрат. В другом варианте цифровая фильтрация реализуется в специальных программах, например в MATLAB. Во всех случаях, когда требуется математическая обработка, с осциллографа получают массив последовательно взятых выборок, то есть он фактически служит аналого-цифровым преобразователем (АЦП) с изменяемыми настройками. Передача отсчетов в выполняющую обработку программу осуществляется с помощью стандартных интерфейсов или путем сохранения отсчетов в файл. Эффективность цифровой фильтрации, которая обеспечивается такой внешней обработкой, оказывается намного выше, что позволяет сравнительно легко синтезировать фильтры с порядком выше 10 [5].
Применение внешних фильтров, в том числе перестраиваемых, является во многом сходным решением. В таком случае уже не требуется математическая обработка, однако необходим подходящий фильтр, который должен быть подвергнут предварительной калибровке. Особое внимание следует обратить на то, что в самих фильтрах могут возникать резонансные явления [2], вносящие заметные искажения в форму ИС. Ввиду этого рекомендуется использование таких изделий в интегральном исполнении.
Применение фильтрации в любом варианте требует оценки полосы частот, занимаемых гармониками ИС, например по критерию заданной доли энергии γ. Известно [2], что, например, для прямоугольных сигналов скорость спада амплитудных коэффициентов разложения в ряд Фурье находится в существенной зависимости от скважности Q, определяющей отношение периода следования импульсов к их длительности. Чем выше скважность, тем меньше длительность импульса и больше его полоса. Возвращаясь к синусоидальным сигналам с отсечкой, можно легко установить, что θ = π/Q, и это свидетельствует о расширении спектра при уменьшении угла отсечки.
На рис. 5 для значений γ = 0,9; 0,99; 0,999 представлены зависимости количества гармоник N(θ), содержащих заданную долю энергии синусоидального сигнала с отсечкой.
Рис. 5. Зависимость N(θ) для разных значений γ
Чем меньше УО, тем большее количество гармоник требуется учитывать при выборе фильтров для снижения уровня АШ. Так, например, при θ = 100° обычно достаточно 1–4 гармоник, а для θ = 10о их количество возрастает до 20 шт. Из этого следует, что исследование ИС с разными значениями УО могут потребовать применения фильтров с разной полосой пропускания. В этом и состоит ключевая проблема использования фильтрации в контексте рассматриваемой измерительной задачи. Графики на рис. 5 могут применяться в качестве отправной точки для выбора фильтров. Следующая заслуживающая внимания группа способов оценки УО основана на применении интегральных преобразований ИС. Классическим является использование спектрального анализа периодических сигналов на основе отсчетов функции s(t) при наличии АШ, причем далее значение θ рассчитывается на основе (3) решением следующего уравнения (4):
(4)
Очевидно, что результат расчета θ имеет некоторый разброс, поскольку амплитудные коэффициенты a1 и a2 зависят от АШ и меняются в некоторых пределах от реализации к реализации. Ввиду этого в этом методе оценки УО необходимо при измерениях:
– во временной области выполнять усреднение амплитудных коэффициентов, рассчитанных на нескольких периодах ИС;
– в частотной области осуществлять усреднение спектрограмм, то есть выполнять измерения с накоплением.
Далее уравнение (4) должно решаться на основе усредненных значений амплитудных коэффициентов. Использование постоянной составляющей для оценки УО нерационально, поскольку она может зависеть, например, от положения рабочей точки смесителя. Анализ уравнения (4) показал, что последнее имеет корень в интервале значений θ ≈ 30–150о. В тех случаях, когда это не так, используются гармоники более высокого порядка, но следует помнить, что их амплитудные коэффициенты меньше, и у них больший ожидаемый относительный разброс.
На рис. 6 представлены примеры графиков функций Δθ(θ) = θ* – θ, характеризующих разброс оценок значений УО и построенных для амплитудных коэффициентов a1 и а2, усредненных по тридцати периодам ИС.
Рис. 6. Примеры зависимостей Δθ(θ) при 30-кратном усреднении значений амплитудных коэффициентов a1 и а2
Как видно из графиков, оценка УО при SN ≥ 10 дБ имеет отклонение не выше 4°, что является приемлемой точностью измерений в большинстве практических задач. При этом график на рис. 2б построен для SN = 12,4 дБ.
Предельные возможности по оценке значений УО при наличии АШ для спектрального метода можно охарактеризовать зависимостью среднеквадратичного отклонения θ* от θ при усреднении по диапазону наиболее употребляемых на практике УО 30–120° с шагом 1°, которую мы обозначим ΔθСР(SN). Значения SN изменялись в интервале 2–20 дБ. Как следует из представленного на рис. 7 графика, среднеквадратичное отклонение не превосходит 3° при SN более 5 дБ.
Рис. 7. Зависимость ΔθСР(SN), полученная на основе статистического моделирования
Такая точность является приемлемой для решения большинства практических задач, базирующихся на экспериментальной оценке УО.
В радиоэлектронике для поиска и обработки сигналов широко применяется взаимно корреляционная обработка, которая также относится к интегральным методам и состоит в использовании специальных опорных сигналов–прообразов. В случае измерений УО, как предполагается, обнаружение сигнала не требуется (см. рис. 2б и 4б), однако определение его фактического положения по оси времени затруднено из-за наличия АШ. Следовательно, на экране осциллографа и при любой другой обработке во временной области, в отличие от модели (1), максимум сигнала смещен по отношению к нулевому значению времени. Применение предлагаемого ниже метода опорных функций требует уточнения такого смещения t` и его компенсации. Рассмотрим способ его определения.
Функция (1) является четной. Наличие АШ сохраняет это свойство с точностью до отклонений, вызванных случайными процессами, которые определим зависимостью n(t). Если в области отсечки постоянная составляющая суммы s(t) + n(t) равна нулю, то (5):
(5)
где α > 1.
FL(t) обращается в ноль при t ≈ t`, что следует из нормального распределения АШ и свойств четных функций. Поскольку сумма s(t) + n(t) в произвольный момент времени является случайной величиной, функция FL(t) в окрестности нулевого значения имеет случайную составляющую. Для синусоидальной функции с отсечкой, показанной на рис. 2а, представлен график функции FL(t), построенный при α = 1,05, с шагом по времени 0,001τ и в окрестности ±0,05τ относительно нулевого значения, а также график линеаризующей его функции L(t). Точное значение t` = 0, а оценочное составляет 1,48 мкс, что соответствует погрешности в 0,4°, которая, однако, не переносится непосредственно на результат измерений УО методом опорных функций. Значение t` учитывается в его реализации.
Используем в качестве опорной функцию, аналогичную (1), но определенную в интервале времени [–θ`/ω1; –θ`/ω1] как ,
где: θ` и Um` – оценки соответствующих параметров, варьируемые в некоторых пределах.
Рассмотрим функцию , определяющую интегральное среднеквадратичное отклонение ИС и опорной функции, приведенное к интервалу определения последней (6):
(6)
Зависимость имеет минимум при варьировании ее аргументов в окрестности истинных значений θ и Um. Соответствующие этому условию значения θ* и Um* являются результатами реализации метода опорных функций.
Минимальное значение θ` также определяется по осциллограмме в соответствии с формулой θ`min = π(τmin/T) – δ, где: δ – коэффициент запаса, а значение τmin отсчитывается по первым нулевым точкам осциллограммы, соответствующим переходу к отсечке. Путем моделирования установлено, что можно рекомендовать значение δ = π/36 рад.
В области значений t = t` непосредственно по осциллограмме ИС определяются значения ΔUmin = (Um – U0)min и ΔUmax = (Um – U0)max, которые соответствуют близким к нулю значениям θ. Будем считать, что в этих разностях значение Um является постоянным, а U0 – изменяемым параметром. Тогда, исходя из определения угла отсечки, максимальное значение угла θ` определяется следующим образом (7):
(7)
Исходя из того, что U0/Um = cos(θ), максимальное и минимальное значения Um` для поиска оптимума функции (6) определим следующим образом (8):
(8)
После определения границ варьирования остается выбрать значения шага изменения θ` и Um`, которые мы обозначим как δθ и δUm. При этом следует иметь в виду, что погрешность определения значения θ* по минимуму функции (6) находится в сложной нелинейной зависимости от δθ и δUm. Путем многократных численных экспериментов было установлено, что для достижения средней погрешности Δθ в диапазоне θ = 30–150° при SN = 12 дБ следует использовать порядка NUm = 200 и Nθ = 100 шагов по Um` и θ`. Эти значения являются рекомендуемыми. Учитывая невысокую вычислительную сложность расчета (6), можно брать и существенно большее количество шагов по каждой из переменных.
Рассмотрим пример. На рис. 9 салатовым цветом показан ИС (θ = 1,047 рад = 60°) и Um = 1 В) при наличии АШ с σ = 0,05 В.
Рис. 8. Графики функций FL(t) и L(t)
Рис. 9. Графики ИС, опорного сигнала и линии нулевого напряжения
Для него реализуется описанный выше метод опорных функций. На период сигнала взяты 1000 отсчетов. При линеаризации функции FL(t) было установлено, что t` = 0,533 мкс. По графику в соответствии с изложенным выше определено, что ΔUmax = 0,6 В, ΔUmin = 0,36 В, τmin = 0,308 мс, откуда при δ = π/36 рад имеем θ`min = 0,880 рад, θ`max = 1,385 рад. С использованием выражений (8) значения Um`max и Um`min составили 1,570 и 0,429 В, соответственно; было принято, что δθ = π/540 рад и δUm = 5 мВ, что соответствовало NUm = 229 шт. и Nθ = 87 шт. В результате расчета было установлено, что функция (6) имеет минимум на 26 шаге по θ` и на 127 шаге по Um`, что соответствует θ* = 1,032 рад = 59,1° и Um* = 1,064 В. На рис. 9 показаны графики ИС и опорной функции, рассчитанной с использованием этих параметров. Как видно из представленных результатов, метод опорных функций оказывается вполне действенным при сравнительно больших значениях SN.
На рис. 10 для информации показана зависимость , по которой выполняется поиск значений θ* и Um*.
Рис. 10. Зависимость , построенная для ИС на рис. 9
Она имеет структуру гофрированного листа с непрямой линией перегиба и единственную точку минимума в области решения оптимизационной задачи. По осям абсцисс и ординат отложены номера отсчетов угла θ` и Um*, соответственно.
На рис. 11 для такого же измеряемого сигнала с номиналом θ в интервале 30–150° приведена зависимость ΔθСР(SN), построенная по однократной реализации метода опорных функций для каждого значения θ, взятого с шагом 3°.
Рис. 11. Зависимость ΔθСР(SN), полученная на основе статистического моделирования
при реализации метода опорных функций
Значения SN изменялись в интервале 2–20 дБ, расчет выполнялся с дискретизацией 1000 точек на период. Как следует из представленного графика, для метода опорных функций среднеквадратичное отклонение не превосходит 3° для отношений SN более 7 дБ, то есть он немного проигрывает спектральному методу по среднеквадратичному отклонению. Для SN = 5 дБ значение ΔθСР оценивается в 4°.
Представленная номенклатура методов определения УО при наличии АШ не является исчерпывающей – могут быть предложены и другие подходы к решению рассматриваемой измерительной задачи. Способы определения УО на основе суммирования отсчетов на периоде и возведения в степень обоснованы и рассматриваются во второй части этой статьи.
Окончание см. в следующем номере журнала
Реклама в журнале: anton.denisov@ecomp.ru
